الحمل متعدد الاتجاهات والطاقة الميكانيكية: قياس تكلفة تغيير الاتجاه

---

هانا نولز وكودي موران، شركة كاتابولت سبورتس

النقاط الرئيسية:

• استيعاب النصف المفقود من الطلب: يمثل تغيير الاتجاه ما يقارب نصف إجمالي الطلب على التسارع في الرياضات الجماعية، ومع ذلك فإن المقاييس التقليدية القائمة على السرعة تتجاهله تمامًا. تعمل تقنية «الحمل متعدد الاتجاهات» على عزل التسارع الخطي، والتباطؤ الخطي، والتسارع الجانبي لتقديم رؤية شاملة للإجهاد الميكانيكي.

• نموذج بيوميكانيكي مُثبت: يُستخدم «العمل الميكانيكي» (كيلوجول/كجم) و«الطاقة الميكانيكية» (وات/كجم) لقياس التكلفة البدنية للحركة باستخدام نموذج مكون من أربعة عناصر يأخذ في الاعتبار آليات الحركة الأفقية والرأسية والجانبية وتأرجح الأطراف. ويضمن ذلك إجراء مقارنة دقيقة بين الجري السريع في خط مستقيم والتدريبات المكثفة التي تُجرى في مساحات صغيرة.

• التعديلات في الوقت الفعلي والعودة الموضوعية إلى الملاعب: تتوفر هذه المقاييس مباشرةً على جهاز Vector S8 وبعد انتهاء الجلسة على جهاز Vector S7 دون الحاجة إلى أجهزة جديدة، وتتيح للممارسين تعديل شدة التمارين أثناء الجلسة ومتابعة تقدم الرياضيين المصابين مقارنةً بملفاتهم الموضوعية قبل الإصابة.

---

تستند عملية مراقبة أداء الرياضيين إلى المقاييس التالية: الموقع، والسرعة، والتسارع الخطي. تصف هذه المقاييس مدى سرعة حركة الرياضي في اتجاه سيره، وهي تؤدي هذه المهمة بشكل جيد. لكن ما لا تلتقطه هذه المقاييس هو تغيير الاتجاه، الذي يمثل في الرياضات الجماعية ما يقارب نصف إجمالي متطلبات التسارع.

لهذه الفجوة عواقب يواجهها المدرب كل أسبوع. فقد تظهر نتائج تمرينين متطابقة من حيث المسافة والجري السريع، لكن من الواضح أنهما لم يكونا نفس الجلسة. وقد يبدو برنامج تدريبي متوازناً من حيث الحجم، لكنه لا يشبه ظروف المنافسة. وقد يجتاز رياضي جميع معايير العودة إلى اللعب القائمة على الجري، ومع ذلك لا يبدو أداؤه سليماً عند الانعطاف. وفي كل حالة من هذه الحالات، لم يتم قياس المعلومات المهمة أبداً، لذا لم يكن من الممكن حسم المسألة إلا بالاعتماد على الملاحظة البصرية.

تطلق شركة Catapult أكثر من 30 معلمة جديدة لسد هذه الفجوة. حيث يفصل «الحمل متعدد الاتجاهات» بين الأمرين اللذين يقوم بهما الجسم عند التسارع، وهما تغيير السرعة وتغيير الاتجاه. ويصف كل من «العمل الميكانيكي» و«الطاقة الميكانيكية» التكلفة الفيزيائية لكل منهما. ويُظهران معًا مصدر الطلب، ومقداره، ومدى الجهد الذي بذله الرياضي. وهما متاحان مباشرةً أثناء الجلسة على جهاز Vector S8 وبعد الجلسة على جهاز Vector S7، ويتم حسابهما استنادًا إلى بيانات الموقع التي تجمعها أجهزتك بالفعل.

وفيما يلي شرح لكيفية اشتقاقها، وكيفية التحقق من صحتها، وما تظهره، وكيفية إعدادها.

لماذا لا تستطيع المقاييس القائمة على السرعة رصد أي انعطاف

التسارع، كما يُقاس عادةً، هو مدى سرعة تغير سرعة الرياضي. والسرعة هي رقم واحد لا يرتبط بأي اتجاه، لذا فإن أي تسارع يُستمد منها لا يمكنه إلا أن يُشير إلى متى يزيد الرياضي من سرعته أو يقللها.

لكن في الفيزياء، يُقصد بالتسارع أي تغيير في الحركة، ويشمل ذلك تغيير الاتجاه. تخيل سيارة تدخل دوارًا بسرعة ثابتة تبلغ 40 كم/ساعة. لا يتحرك عداد السرعة، ومع ذلك يشعر جميع الركاب بدفع جانبي. هذا الدفع الجانبي هو التسارع، وهو بالضبط ما لا يمكن لرقم يعتمد على السرعة أن يراه

وينطبق الأمر نفسه على الرياضيين. فمن ينعطف بسرعة ثابتة، تظهر قراءته صفرًا. أما من يضغط على المكابح أثناء الانعطاف، فتسجل القراءة عملية الكبح، دون أن تسجل أي شيء عن الانعطاف.

لنأخذ مثالاً على رياضي يركض في دائرة قطرها 10 أمتار بسرعة ثابتة تبلغ 5 أمتار في الثانية. يُظهر مقياس يعتمد على السرعة قيمة صفر طوال مسار الدورة. لكن في الواقع، يدفع الرياضي نفسه على الأرض ليحافظ على منحنى السرعة^{بمعدل تسارع يبلغ} 2.^{5 متر في الثانية المربعة} طوال فترة الجهد، ولا يتم تسجيل أي جزء من ذلك. وإذا جمعنا حركة الانعطاف مع أي زيادة أو نقصان في السرعة، نحصل على التسارع الكلي أو الناتج.

تقسيم التسارع إلى قناتين: خطية وجانبية

أضف اتجاه الحركة إلى السرعة، فتنقسم التسارع تلقائيًّا إلى جزأين.

التسارع الخطي (المماسي) هو زيادة السرعة أو انخفاضها في الاتجاه الذي يتحرك فيه الرياضي. ويكون موجبًا عند التسارع وسالبًا عند الكبح، وهو ما تعكسه بالفعل المقاييس القائمة على السرعة.

التسارع الجانبي (الجاذبي) هو التغير في الاتجاه، أي الدفع الجانبي عبر خط السير. ويكون قيمته صفرًا عند السير في خط مستقيم، وهو العنصر الذي تغفل عنه المقاييس القائمة على السرعة.

وتعطي هاتان القوتان معًا التسارع الكلي (الناتج)، أي مدى قوة التسارع الذي يحققه الرياضي في أي لحظة، بغض النظر عن الاتجاه الذي يتحرك فيه.

عند الانعطاف بسرعة ثابتة، لا يحدث تسارع خطي. تشير الأسهم البرتقالية إلى التسارع الجانبي: وهو القوة المسؤولة عن تغيير الاتجاه، والتي لا تراعيها المقاييس القائمة على السرعة.

نفس الدائرة متعددة الاتجاهات التي مدتها 45 ثانية، مع عرضها بثلاث طرق مختلفة. يظهر التسارع الخطي (يسار) في الأماكن التي يزيد فيها الرياضي من سرعته أو يقللها، ويظهر التسارع الجانبي (وسط) في الأماكن التي يغير فيها اتجاهه، أما التسارع الناتج (يمين) فيجمع بين الاثنين. وتشير الألوان إلى القيم التي تتجاوز 2 م·ث⁻².

اقرأ اللوحتين اليسرى والوسطى معًا، وستتضح الفكرة من تلقاء نفسها. تسلط القناتان الضوء على أجزاء مختلفة تمامًا تقريبًا من نفس الدائرة، وكل ما تظهره اللوحة الوسطى هو الجهد الذي بذله الرياضي ولم يسجله أي مقياس موجود.

هناك عاملان يحددان مقدار التسارع الجانبي الناتج عن المنعطف: السرعة التي يتحرك بها الرياضي ومدى ضيق المنعطف. وتكون للسرعة التأثير الأكبر؛ فإذا تضاعفت السرعة، يزداد التسارع الجانبي أربع مرات، بينما إذا انخفض حجم المنعطف إلى النصف، فإن التسارع الجانبي يزداد مرتين فقط.

التسارع الجانبي، م/ثانية². تشير علامة الشرطة إلى منعطف حاد جدًّا بحيث يتعذر الحفاظ على المسار عند تلك السرعة.

هذه أداة لتصميم التدريبات. ونظرًا لأن التسارع الجانبي يرتفع مع مربع السرعة وينخفض كلما اتسعت المنعطفات، فإن المدرب الذي يرغب في زيادة متطلبات تغيير الاتجاه لديه خياران يؤديان إلى نتائج مختلفة تمامًا. فزيادة ضيق الشبكة ترفع متطلبات كل منعطف، لكنها تحافظ على انخفاض سرعات الجري. أما توسيعها وزيادة سرعة الدخول، فيؤدي إلى زيادة متطلبات التسارع الجانبي مع الحفاظ على التعرض للسرعات العالية. وهذه جلسات مختلفة لها تكاليف مختلفة، وحتى الآن لم يكن هناك مقياس يمكنه إخبارك أيهما قمت بتنفيذه بالفعل.

ما الذي تبيّنه تقارير الحمل متعدد الاتجاهات، وكيف يرتبط ذلك بحمل التسارع

يؤدي تكامل التسارع مع مرور الوقت إلى الحصول على الحمل بوحدات تعسفية، على نفس مقياس مؤشر «حمل التسارع» المستخدم حاليًا. ويُعد «حمل التسارع» حاليًا قيمة مطلقة واحدة تجمع بين التسارع والكبح معًا. أما «الحمل متعدد الاتجاهات» فيذهب إلى أبعد من ذلك، فهو رقم واحد يعبر عن التسارع والتباطؤ وتغيير الاتجاه، ويمكن بعد ذلك تقسيمه إلى كل مكون من هذه المكونات.

من الجدير توضيح تأثير ذلك على الرقم الذي تستخدمه بالفعل. تتوافق المكونات الخطية مجتمعةً مع «حمل التسارع» الحالي الخاص بك. ولم يتغير شيء في طريقة قياس التسارع والكبح. فقد تم فصلهما إلى تكاليف منفصلة، وأُضيف مكون ثالث إلى جانبهما.

يعتمد تقسيم القنوات بشكل شبه كامل على النشاط الذي يمارسه الرياضي:

الحالتان المتطرفتان بديهيتان. فالركض السريع لمسافة 20 مترًا يكون خطيًّا بالكامل تقريبًا، بينما الجري الدائري يكون جانبيًّا بالكامل تقريبًا. أما الجزء المفيد فهو كل ما يقع بينهما، لأن ذلك هو ما تُبنى عليه الجلسات التدريبية فعليًّا، كما أن المزيج الموجود في الجري المنحني أو المتعرج ليس شيئًا يمكن لأي شخص تقديره بشكل موثوق بالعين المجردة. وعبر أربع رياضات جماعية، يتراوح الحمل الجانبي بين 42 و53 في المائة من إجمالي الحمل متعدد الاتجاهات خلال المباريات.

من الحمل إلى الجهد: التكلفة الجسدية، والنموذج الميكانيكي الحيوي الكامن وراءها

يصف «الحمل متعدد الاتجاهات بالوحدات التعسفية» اتجاه وتوزيع متطلبات التسارع. أما «العمل الميكانيكي» فيصف مقداره الفيزيائي، بالكيلوجول لكل كيلوغرام من كتلة الجسم (kJ/kg).

يستمد «العمل الميكانيكي» في نظام Catapult من نموذج بيوميكانيكي مكون من أربعة عناصر، مستمد من أبحاث خضعت لمراجعة الأقران (Gray et al., 2018, 2023). ويأخذ النموذج في الاعتبار أربعة متطلبات ميكانيكية متميزة ويجمعها في قيمة واحدة لـ«العمل الميكانيكي»:

• أفقيًا: التسارع والتباطؤ في اتجاه السير
• العمودي: الارتداد في كل خطوة، ورفع الجسم وخفضه
• الأطراف: تحريك الذراعين والساقين مع كل خطوة
• الحركة الجانبية: تغيير الاتجاه: الحركة من جانب إلى آخر

ونظرًا لأن النموذج يأخذ في الحسبان عمليات الكبح والانعطاف بشكل منفصل، فإنه يراعي متطلبين تجمعهما النُهج القائمة على رقم واحد. وقد تم التحقق من صحة سرعة الجهاز وتسارعه مقارنةً بنظام Vicon لالتقاط الحركة في دراسة منشورة (Ellens et al., 2025). ومنذ ذلك الحين، تم فحص قنوات التسارع الخطي والجانبي وفقًا لنفس المعيار، على أن تُنشر النتائج الكاملة في ورقة بحثية ستصدر قريبًا.

إن إدراج الأطراف هو ما يميز النموذج الميكانيكي الحيوي عن مجرد حاصل ضرب التسارع والسرعة. فحركة تأرجح الذراعين والساقين تمثل عملاً لا يظهر في تسارع الجسم ككل، ومع ذلك تشكل نسبة كبيرة من الإجمالي عند سرعات الجري (مينيتي، 1998). ولا يمكن لأي نموذج يفتقر إلى مصطلح الأطراف أن يأخذ ذلك في الحسبان. وهذا الأمر مهم للتفسير وليس للدقة فحسب. فبدون مصطلح الأطراف، يتم تقدير الجري السريع في خط مستقيم بأقل من قيمته الحقيقية، لذا قد تبدو جلسة الجري عالية السرعة أخف من حقيقتها مقارنة بمباراة صغيرة الحجم. وهذه هي بالضبط المقارنة التي تُستخدم هذه الأرقام لإجرائها. 

وعند التعبير عن النتيجة كمعدل، يُعطينا الحساب نفسه القوة الميكانيكية بالواط لكل كيلوغرام (W/kg). وتشمل مجموعة القيم المُبلغ عنها كلًّا من إجمالي العمل الميكانيكي (kJ/kg) والعمل الميكانيكي في الدقيقة (kJ/kg/min)، مرورًا بمتوسط القوة الميكانيكية وقيمتها القصوى (W/kg)، مع توفر القوة اللحظية لكل عينة بعد انتهاء الجلسة.

الحمل متعدد الاتجاهات على مدار المباراة بأكملها

تُضاف المقاييس الجديدة الخاصة بالحمل متعدد الاتجاهات والطاقة الميكانيكية إلى المقاييس الحالية مثل المسافة والجري بسرعة عالية، بحيث يمكن إدراجها في تقارير المباريات والتدريبات الحالية بدلاً من استبدالها.

في المباراة الكاملة، يوفر هذا التحليل نفسه ملفًا اتجاهيًّا لكل لاعب. بالنسبة للمهاجم الموضح في الصورة، ينقسم «الحمل متعدد الاتجاهات الإجمالي» البالغ 5,708 وحدة AU إلى 1,312 وحدة AU من التسارع الخطي، و1,254 وحدة AU من التباطؤ الخطي، و3,142 وحدة AU من الحمل الجانبي، موزعة بين 1,507 وحدة على اليسار و1,635 وحدة على اليمين. أكثر من نصف متطلبات التسارع لهذا اللاعب تقع في نطاق لا تدرجه أي من مقاييس المسافة أو السرعة.

يتم تسجيل «الطاقة الميكانيكية» في نطاقات شدة قابلة للتعديل، بحيث يمكن للمدربين تحديد عتبات تناسب رياضتهم ومجموعة الرياضيين التي يعملون معها، ثم تتبع المسافة والوقت المتراكمين في كل نطاق. في الجلسة الموضحة، يقع 59 في المائة من الوقت ضمن نطاق أقل من 2.5 واط/كجم، و5 في المائة ضمن نطاق أعلى من 12.5 واط/كجم. وهذا التوزيع هو ما يجعل من الممكن التأكد من أن التمرين يصل إلى الشدة المقصودة، والتمييز بين انخفاض الشدة وانخفاض الحجم.

بث مباشر على Vector S8: تغيير طريقة التدريب بدلاً من مراجعتها

في جميع الأنظمة الأخرى، تكون هذه الأرقام هي تلك التي يقرأها الممارس بعد انتهاء الجلسة، وهو وقت متأخر جدًّا لتغيير التمرين الذي أدى إلى ظهورها. أما مع جهاز Vector S8، فتظهر هذه الأرقام على الشاشة أثناء تنفيذ التمرين. ويمكن للممارس رؤية القيمة القصوى في غضون دقيقة واحدة ومكونات الحمل وهي تتراكم في الوقت الفعلي.

ويتمثل الاستخدام العملي في مراقبة الشدة مع مراعاة الوقت المتبقي للتمرين. فإذا لم تصل القوة الميكانيكية إلى النطاق المقصود بحلول التكرار الثالث، فإن التمرين لن يحقق الغرض المحدد له، ويمكن إطالة مدته أو اختصاره قبل تكريس بقية الجلسة له. وينطبق الأمر نفسه على خطوة «العودة إلى اللعب»، حيث يُظهر تراكم الحمل الجانبي على كل جانب ما إذا كان الرياضي يفي بمستوى التعرض المحدد، في حين لا يزال من الممكن تأكيد هذه الخطوة أو إيقافها.

ما يتغير هو التوقيت وليس المحتوى. ويُحدد الرقم الذي يتم تسجيله بعد انتهاء الجلسة الجلسة التالية. أما الرقم الذي يتم تسجيله أثناء الجلسة فيغير التكرار التالي.

أربع طرق سيستخدمها الممارسون

تصميم التمارين بناءً على متطلبات الحركة في المنافسة. فكل مباراة لها نمط تحميل خاص بها، أي كيفية توزيع الأحمال متعددة الاتجاهات بين التسارع والكبح وتغيير الاتجاه. والأسبوع التدريبي له نمط تحميل خاص به أيضًا. وعند مقارنة هذين النمطين جنبًا إلى جنب، سواء على مستوى الفريق أو المركز أو الرياضي، تصبح مسألة «الخصوصية» مقارنةً موضوعيةً بدلاً من أن تكون مجرد رأي شخصي.

قياس حجم الجهد البدني الناتج عن تغيير الاتجاه. تنطبق هذه المقارنة أيضًا على مستوى التمارين. لنأخذ مثالاً على تمرينين لهما نفس المدة والمسافة، أحدهما في مساحة مفتوحة والآخر في شبكة ضيقة. قد يبدوان متطابقين من حيث المسافة والسرعة، لكن «الحمل الجانبي» و«الحمل الجانبي العالي» و«العمل الميكانيكي» هي العوامل التي تميز بينهما، كما تُظهر أوقات إنجاز التمرينات أين يتركز الجهد خلال الجلسة.

التحقق مما إذا كانت مرحلة التدريب تحقق النتائج المرجوة. قد تظل مسافات الجري والركض عالي السرعة ثابتة من أسبوع لآخر، في حين ترتفع قيم «الحمل الجانبي» و«الحمل الجانبي العالي». وهذا يمثل التعرض لتغييرات في اتجاه الحركة بناءً على أساس جري مستقر، وهو ما قد تغفل عنه المقاييس القائمة على السرعة تمامًا. ويُظهر ذلك ما إذا كانت المرحلة تحقق التقدم الذي تم التخطيط له أم لا.

العودة التدريجية إلى اللعب بناءً على أرقام موضوعية. وعادةً ما تنتقل العودة إلى اللعب من الجري الخطي إلى التغيير التدريجي في اتجاه الحركة، ثم إلى سيناريوهات تشبه المباريات. وعادةً ما يتم تقييم كل خطوة بناءً على خطة التقدم وجودة الحركة بالعين المجردة. يُظهر «الحمل الجانبي» مقدار التعرض لتغيير الاتجاه الذي يتحمله الرياضي في كل خطوة، ويُظهر «الحمل الجانبي العالي» مقدار الانعطافات الحادة في ذلك، بينما تُظهر «القوة الميكانيكية» مقدار الجهد الذي يبذله الرياضي أثناء القيام بذلك. وبالمقارنة مع الملف الشخصي للرياضي قبل الإصابة، يتقدم الرياضي وفقًا لهذه المقاييس، وليس فقط وفقًا للتقويم الزمني.

أين تظهر المقاييس: الأجهزة والمنصات وتوافر الخدمة

يتم حساب جميع المقاييس استنادًا إلى بيانات التتبع التي تجمعها الأجهزة بالفعل، لذا لا حاجة إلى أجهزة جديدة ولا يتطلب الأمر أي تغيير في إعدادات الجهاز أو سير العمل.

Vector S8 (فئة Pro): مباشرة أثناء الجلسة، في وحدة التحكم « OpenField » و« Vector Live »، وكذلك بعد انتهاء الجلسة.

Vector S7 (فئة Pro): بعد الجلسة، في وحدة التحكم « OpenField » و«Cloud».

إعداد نطاقات الطاقة

يتم تسجيل «القوة الميكانيكية» في ما يصل إلى ثمانية نطاقات قابلة للتكوين، مقسمة إلى مجموعتين. تستخدم المجموعة «المطلقة» عتبات ثابتة ومطابقة لكل رياضي، مما يحافظ على ثبات المقياس على مستوى الفريق بأكمله، وتناسب مقارنة التدريبات وتحليل الأداء حسب المراكز، إلى جانب وصف متطلبات المباراة. أما المجموعة «النسبية» فتطبق عتبات معبرًا عنها كنسبة من الحد الأقصى الخاص بكل رياضي، مما يناسب العودة إلى الملاعب والتوصيات الفردية. وكما هو الحال مع السرعة القصوى، يُعلم تطبيق « OpenField » المستخدمين عندما يسجل رياضي ما قوة ميكانيكية قصوى جديدة، ويمكن تحديث الملف الشخصي من خلال الإشعار بحيث تظل النطاقات النسبية محدثة. ويقدم كل نطاق تقارير عن المدة والمسافة، بالقيم الأولية والنسب المئوية على حد سواء.

ما يفترضه النموذج وما لا يراعيه

يتم الإبلاغ عن «العمل الميكانيكي» و«الطاقة الميكانيكية» لكل كيلوغرام من كتلة الجسم، مما يتيح المقارنة المباشرة بين الرياضيين من مختلف الأحجام. كما يتم الإبلاغ عن القيم المطلقة جنبًا إلى جنب للإجابة عن الأسئلة المتعلقة بالإنتاج الإجمالي، بدلاً من الطلب بالنسبة لحجم الجسم.

هذه مقاييس خارجية، تُحسب بناءً على الطريقة التي يتحرك بها الرياضي على الأرض. وهي لا تأخذ في الحسبان التصادمات أو التلامس، ولا تميز بين أنواع النشاط العضلي، ولا تصف التكلفة الفسيولوجية الداخلية للجلسة التدريبية.

ملخص عن الحمل متعدد الاتجاهات والطاقة الميكانيكية

يُبيّن مؤشر «الحمل متعدد الاتجاهات» مقدار التسارع المطلوب خلال الجلسة ومصدره — سواء كان ذلك من خلال التسارع أو الكبح أو تغيير الاتجاه. أما مؤشر «العمل الميكانيكي» فيُبيّن الجهد البدني الذي بذله الرياضي. ويُبيّن مؤشر «الطاقة الميكانيكية» مدى شدة الجهد الذي كان يبذله الرياضي في أي لحظة.

وهذا يحول الحالات الثلاث المذكورة في مقدمة هذا المقال إلى أسئلة لها إجابات. فالتمرينان اللذان أظهرا نتائج متطابقة من حيث المسافة يفصل بينهما الحمل الجانبي والعمل الميكانيكي، وتُظهر تفاصيل التمرينات أين تكمن الفروق خلال الجلسة. أما المجموعة التي بدت متوازنة من حيث الحجم، فيمكن مقارنتها بخصائص الحمل الخاصة بالمباراة نفسها، مركزًا بمركز، بدلًا من مقارنتها برأي شخصي. أما الرياضي الذي يجتاز جميع معايير الجري ولكنه لا يبدو جيدًا عند الانعطاف، فيمكن الآن تقييمه وفقًا للمقياس المهم: الحمل الجانبي، مقارنةً بملفه قبل الإصابة.

لطالما كان تغيير الاتجاه يمثل نصف متطلبات الرياضة الجماعية. أما الآن، فقد أصبح يمثل نصف معايير التقييم.

المراجع

مينيتي أ. إ. (1998). معادلة نموذجية للتنبؤ بالعمل الميكانيكي الداخلي للحركة البرية. مجلة J Biomech 31(5):463-468.

إيلينز س.، موران سي.، فارلي إم. سي. (2025). الصلاحية المتزامنة والموثوقية بين الأجهزة لجهاز GNSS « Catapult Vector S8». PLoS One 20(10):e0333792.

غراي أ. ج.، شورتر ك.، كومينز س.، مورفي أ.، والدرون م. (2018). نمذجة ديناميكيات الطاقة الحركية باستخدام أجهزة نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) في الرياضات الجماعية التي تتضمن احتكاكًا جسديًّا: القيود والحلول. مجلة الطب الرياضي 48:1357-1368.

غراي أ، أندروز م، والدرون م، جينكينز د. (2023). نموذج لحساب المتطلبات الميكانيكية للجري على سطح الأرض. Sports Biomech 22(10):1256-1277.